LE PROPRIETÀ DEI QUADRILATERI
Generalmente per i ragazzi è difficileintuire proprietà e relazioni nello studio di figure statiche, il compito risulta semplificato se è offerta loro l’opportunità di osservare modelli che variano con gradualità. In questa attività si propone di esaminare le proprietà dei quadrilateri (rettangoli, parallelogrammi, quadrati e rombi), manipolando figure dinamiche attraverso il trascinamento di un loro vertice.
Il percorso
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Individuazione “ad occhio” di elementi invarianti e variabili nella trasformazione di un quadrilatero in un altro.
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Dall’osservazione diretta all’astrazione: cosa accade nei casi limite?
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Verifica delle ipotesi attraverso la misura nei casi più incerti.
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Classificazione dei quadrilateri sulla base delle proprietà individuate.
Modelli costruiti con strisce di cartone con fori alle loro estremità, unite da fermacampioni, ed in particolare:
• quadrato che si trasforma in rombo (4 strisce uguali unite
alle estremità)
•
rettangolo che si trasforma in parallelogramma (4 strisce uguali a
coppie unite alle estremità)
•
rettangolo che si trasforma in quadrato (diagonali costituite da 2
strisce uguali unite al centro e lati formati da un filo elastico passante
per i loro estremi)
•
parallelogramma che si trasforma in rombo (diagonali costituite da
2 strisce diverse unite al centro e lati formati da un filo elastico
passante per i loro estremi
Il software di gemetria dinamica
In alternativa gli studenti possono lavorare con un software di geometria
dinamica (CABRI), seguendo percorsi predisposti
(vedi files CABRI)
Le attività
Lo scopo è quello di incoraggiare gli studenti a formulare e
verificare congetture ed a trasformare le loro intuizioni in idee più formali
relative alle proprietà geometriche
I ragazzi sono invitati a scoprire caratteristiche comuni e differenze
in coppie di quadrilateri. Le coppie di quadrilateri sono. Parallelogramma
e rettangolo, quadrato e rombo, rettangolo e quadrato, parallelogramma
e rombo.
Gli elementi da osservare sono:
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lati (relazione tra lunghezze, somma, parallelismo)
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angoli (relazione tra ampiezze, somma)
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diagonali (somma, perpendicolarità, punto d’intersezione)
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area
Due angoli diventano più ampi, l'ampiezza degli altri due si riduce, una coppia guadagna ciò che l'altra perde, la somma dei quattro angoli resta costante.
Somma di diagonali
Man mano che si “schiaccia” il quadrato,
una diagonale si allunga, l'altra si accorcia, ma la loro somma non è costante!Il
caso limite aiuta a comprendere ciò che accade. I ragazzi sono
invitati ad osservare due elementi:
1. in ciascun quadrato la diagonale è più lunga
del lato
2. nel caso limite, quando il quadrato è appiattito
fino a diventare un segmento, una diagonale diventa
uguale alla somma di due lati e l’altra va a
zero. La loro somma deve essere quindi minore che nel
quadrato. La valutazione qualitativa può essere
controllata con la misura.
Variabile o costante?
I ragazzi sono convinti che ciò che si perde
da una parte si acquista dall’altra: una diagonale si allunga e
l’altra si accorcia, ma la loro somma non è costante. Ci
si convince di ciò osservando il caso limite, in cui il rombo
si riduce ad un segmento, una diagonale diventa uguale alla somma di
due lati e l’altra va a zero. E’ evidente che la loro somma
deve essere diminuita, perché nel quadrato le diagonali sono più lunghe
dei lati. La valutazione qualitativa può essere controllata con
la misura.
Ragionamenti di questo tipo offrono l’opportunità di mostrare
come la percezione immediata può condurre a conclusioni errate e quindi
aiutano a far comprendere l’esigenza di un pensiero più preciso
e formale. Si aprono così “finestre” su temi matematici
fondamentali, che saranno formalizzati in seguito.
Gli elementi che restano immutati nella trasformazione e che quindi caratterizzano l’insieme dei rombi (ad esempio la perpendicolarità delle diagonali) non focalizzano l’attenzione, si danno per scontati, i ragazzi vanno guidati a notarli.
Analogamente vengono analizzate le altre trasformazioni, per individuare le proprietà di rettangoli e parallelogrammi.
Corrispondenza biunivoca tra i
punti di una figura e della sua immagine
E’ facile individuare la corrispondenza tra vertici delle due figure e in generale tra punti in lati corrispondenti, mentre i punti interni non sono presi in considerazione perché i ragazzi identificano spesso il contorno della figura con la figura stessa. Si può proporre così un quadrato “quadrettato”.
Ogni intersezione di linee parallele ai lati è un punto
interno al quadrato. Costruendo due telai suddivisi in quadrati
e deformando uno dei due, è possibile “vedere” alcuni
punti interni alle due figure e quindi stabilire una corrispondenza
biunivoca tra punti corrispondenti. Operando sul rombo si può “tornare
indietro” al quadrato, chiarendo così meglio il concetto
di corrispondenza biunivoca. |
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