Tutto in ordine
Là dove l’uomo scorge un minimo d’ordine, immediatamente
ne suppone troppo.
Bacone
Se
dallo
svolgersi casuale degli eventi emergono regolarità, si può dire che queste
regolarità emergano necessariamente, ossia non possano non emergere?
È così. Esiste una dimostrazione matematica della
necessità di una qualche regolarità anche da un insieme di eventi perfettamente
casuale. Questa dimostrazione va sotto il nome di teorema di Ramsey*.
[NOTA * Frank P. Ramsey (Cambridge 1903 – Londra
1930) sviluppò idee estremamente profonde e innovative nei campi della logica,
della matematica, della probabilità, e diede importanti contributi anche nel
campo dell’economia. Ramsey allacciò relazioni con alcuni dei luminari in
questi campi quali il logico Bertrand Russell, il matematico David Hilbert,
l'economista John Maynard Keynes, il filosofo Ludwig Wittgenstein. I suoi studi
sono stati ripresi e ulteriormente sviluppati dal matematico ungherese Paul
Erdos.]
Chi
è questo Ramsey e cosa ha fatto?
Il pensiero più noto e forse il più importante di Ramsey
è la scoperta che vi sono proprietà che risultano sempre realizzate quando la
numerosità del campione esaminato è sufficientemente grande.
Cosa
dice questo teorema?
Vi sono alcune celebri frasi, quasi degli slogan, che
possono sintetizzare, e in qualche modo divulgare, il senso del teorema di
Ramsey. Te ne dico tre, in ordine decrescente di difficoltà:
1. esistono “coincidenze apparenti”; esaminando dei
campioni numerosi, si nota il ripresentarsi di determinate situazioni, e, di
conseguenza, si è portati a studiare il problema dal punto di vista
probabilistico; ma le coincidenze sono solo apparenti, nel senso che, superata
una certa ampiezza del campione, la situazione notata si verifica sempre;
2. in un insieme anche perfettamente casuale, purché
sufficientemente grande, si trova sempre un sottoinsieme che contiene una
struttura ordinata;
3. il disordine completo è impossibile.
Puoi
fare qualche esempio?
Citerò il famoso
Party Problem. Invitiamo a una festa n
persone scelte a caso e chiediamoci se sia verificata o meno la seguente
condizione, che chiamiamo per comodità (P):
(P)
= [Vi è almeno una terna di persone che mutuamente si conoscono
ovvero
una terna di persone che mutuamente non si conoscono]
Esaminando i casi per n
> 2, ad esempio 3, 4, 5, ci rendiamo subito conto che la condizione (P) può
essere verificata o meno, e possiamo calcolarne la probabilità. Quando passiamo
ad esaminare il caso n = 6, il verificarsi
della condizione (P) sembrerà “molto frequente”.
Di fatto, e questo è l'esempio più banale di applicazione
del teorema di Ramsey, se la numerosità n
del nostro campione è tale che n >
6, la condizione (P) è sempre verificata.
Sorprendente. Ci sono applicazioni?
Il problema di fondo che
Ramsey vuole risolvere è l’analisi dell'esistenza o meno della casualità, del
disordine relativo e assoluto.
Scopo principale della
teoria di Ramsey è definire la dimensione minima di un “universo” per garantire
l’esistenza di un certo evento.
Un altro teorema di
Ramsey afferma che il disordine relativo non esiste: tra un insieme di oggetti
abbastanza numeroso si possono sempre trovare alcuni sottoinsiemi ordinabili.
Fammi un altro esempio; non dare solo definizioni.
Per esempio, tra
l'insieme di tutte le stelle che appaiono durante la notte, siamo sempre in
grado di ordinarne alcuni gruppi in quelle che poi chiamiamo costellazioni.
In particolare, vediamo
tra le stelle delle configurazioni che sono subordinate al livello
antropologico e tecnologico dell’osservatore: figure geometriche, animali,
figure umane e religiose.
Mi sembra di capire che ognuno ci vede le figure che ha
già in mente.
Per questo i greci antichi vedevano animali, figure
mitologiche e oggetti comuni, mentre, quando c’è stata la possibilità di vedere
le stelle dell’emisfero australe, oramai gli astronomi erano in grado di vedere
orologi, sestanti, macchine pneumatiche e oggetti tecnologici del tempo.
È proprio così. Lo
stesso teorema di Ramsey ha infatti solo una validità soggettiva: la capacità
di ordinare gli elementi dell'insieme si basa su concetti di ordine
predefinito, ovvero di geometrie definibili a priori come possono essere il
triangolo, il quadrato, il trapezio o i cinque solidi platonici, o altre
geometrie individualmente valide ma tutte irrimediabilmente relative allo
spettro di conoscenze preacquisito dall’occhio o dalla mente dell’osservatore.
In altre parole, da un
lato possiamo essere quasi certi che qualcuno vedrà, tra le stelle del cielo,
degli animali, purché non definiti a priori, mentre non possiamo essere sicuri
che qualcuno vedrà esattamente un leone; dall’altro è inevitabile che si vedano
dei triangoli o dei quadrilateri una volta che le stelle visibili in cielo superino
il numero di 2 e di 3.
Il concetto di insieme
casuale dipende sempre dalla mente di colui che osserva l’insieme. Una mente
poco “allenata” potrebbe non riconoscere alcuna regolarità in una serie di
numeri come questa: 1 - 3 - 5 - 7…
che è evidentemente la sequenza dei primi numeri naturali dispari, mentre un
esperto potrebbe immediatamente identificare la serie 1415926535 come le prime
10 cifre decimali di p.
Insomma,
il caso genera delle regolarità e queste regolarità annullano il caso.
Il caso gioca un ruolo
rilevantissimo nell’universo. Potrebbe addirittura esserne l’origine.
Che cosa è il caos? È l’ordine che fu distrutto
con la creazione del mondo.