Le Geometrie non Euclidee

La geometria, nata per misurare oggetti e superfici,
si basa su 5 semplici postulati cioè affermazioni
vere per definizione) proposti dal greco
Euclide nel 300 avanti Cristo.
Ma due secoli fa si è scoperto che basta
cambiare uno dei postulati e...

Per un punto esterno a una retta . . .
. . . passa una e una sola retta parallela, dice il 5° postulato di Euclide.
Ma se per quel punto si fanno invece passare infinite parallele (o nessuna)
nascono due intere geometrie, dette "iperbolica"e "ellittica".

Esiste un’unica geometria capace di descrivere tutte le forme dell’universo? Il trapezio disegnato in cielo da 4 stelle è lo stesso oggetto che si può rappresentare su un pezzo di carta, almeno dal punto di vista matematico? E la somma degli angoli interni di un triangolo è davvero sempre uguale a 180°, come impariamo a scuola?

Per più di duemila anni, tutti gli studiosi sono stati fermamente convinti che la risposta fosse sì.

A dimostrarlo era l’esperienza quotidiana: per delimitare territori, calcolare aree, perimetri e traiettorie, progettare e costruire case, ponti o strade, le formule elaborate dal matematico greco Euclide, vissuto intorno al 300 a. C., funzionavano benissimo... anche se. forse. Euclide non era una persona reale, ma lo pseudonimo di un gruppo di studiosi dell’antica Grecia.

8 ASSIOMI E 5 POSTULATI
Allo stesso modo di un edificio molto complesso, la geometria euclidea è costruita su alcuni "mattoni" fondamentali. Euclide li suddivise in assiomi e postulati.

I primi erano 8 e contenevano nozioni comuni molto generali, come "il tutto è maggiore della parte". I postulati, invece, descrivevano le proprietà di punti, rette e angoli: il quarto, per esempio dice: "tutti gli angoli retti sono uguali tra loro".

Possono sembrare osservazioni banali, ma l’abilità di Euclide fu proprio quella di individuare il giusto punto di partenza per costruire quella che è forse l’opera concettuale più importante della storia.

L’INGHIPPO DELLE PARALLELE
Il quinto postulato, però, ha per secoli destato un interesse particolare, perché si pensava che, alla fine, potesse essere dimostrato a partire dagli altri 4. "Per un punto esterno a una retta" dice questo postulato, nella versione semplificata proposta dal matematico inglese John Playfair "passa una ed una sola parallela". Possibile che questo fatto non fosse dimostrabile?

CONCLUSI0NI RIPUGNANTI
Invece, nonostante gli sforzi, nessuno ci riuscì mai. Fino a quando, agli inizi del ‘700. il gesuita italiano Girolamo Saccheri fece un tentativo diverso: presuppose che il postulato fosse sbagliato, con l’idea di arrivare a incongruenze logiche che avrebbero dimostrato la sua tesi... la cosiddetta dimostrazione per assurdo.

Ma i conti di Saccheri non portarono ad alcuna incongruenza logica. Il gesuita, disperato, si rItrovò così fra le mani una pseudogeometria che funzionava anche senza quinto postulato. La considerò "ripugnante" e ne dedusse di avere commesso qualche errore.

NASCE LA NUOVA GEOMETRIA
La svolta avvenne circa un secolo più tardi, quando due matematici, il russo Nikolaj Lobacevskij e l’ungherese Janos Bolyai, indipendentemente l’uno dall’altro, capirono che il quinto postulato era, in realtà, indimostrabile. E che poteva perfino essere sostituito con un altro molto diverso e altrettanto valido:

"Per ogni punto esterno ad una retta passano almeno due parallele". In questo modo, arrivarono a sviluppare una geometria nuova, più tardi definita iperbolica, nella quale per esempio non valeva il teorema di Pitagora ed erano invece possibili stranezze come la quadratura del cerchio (cioè la costruzione con riga e compasso del lato del quadrato avente la stessa area di un cerchio dato) che è impossibile nella geometria euclidea.

NESSUNA PARALLELA
Un po’ più tardi, verso la metà dell’Ottocento, il tedesco Bernhard Riemann. creò un’altra geometria non euclidea basandosi sull’assunzione che di parallele non ce ne fossero affatto.

L’intervento di Riemann fu però più radicale di quello di Lobacevskij e Bolyai. perché l’assenza totale di parallele è incompatibile anche con altri postulati e assiomi di Euclide, che dovettero essere modificati a loro volta. Questa seconda geometria alternativa fu definita "ellittica".

L’INCREDULITÀ DEI FILOSOFI
Qualche anno prima, il tedesco Karl Friedrich Gauss aveva a sua volta rielaborato una geometria iperbolica, ma aveva preferito non divulgare le proprie conclusioni, temendo le reazioni dei contemporanei.

Non a torto, se si pensa che il grande filosofo Immanuel Kant riteneva che la geometria di Euclide esistesse "a priori" nel nostro cervello e fosse dunque l’unica possibile per descrivere la natura. E ancora all’inizio del ‘900, un secolo dopo la morte di Kant. molti studiosi si ostinavano a negare validità alle due nuove geometrie.

D’altra parte, a quale realtà potevano mai adattarsi le astratte descrizioni di Bolyai, Lobacevskij e Riemann? In realtà la risposta è meno difficile di quanto si possa credere.

Per avere un esempio di geometria ellittica (o, meglio, di una sua variante detta geometria sferica), per esempio, provate a disegnare figure geometriche su una sfera, e vi accorgerete che esse appaiono "gonfiate", diverse da come apparirebbero su un foglio piatto.

Su una superficie sferica, infatti, la geometria di Euclide non funziona più, e bisogna applicare la geometria sferica di Riemann.
E si pone subito un dubbio: che cos’è una linea retta su una sfera?
Risposta: un cerchio massimo, in altre parole una circonferenza che ha lo stesso centro della sfera. Con questa definizione, è facile verificare che il concetto di parallele sparisce, perché non esistono due cerchi massimi che non s’incrocino.
Per convincersene, basta pensare ai meridiani di un mappamondo: si incontrano tutti ai poli.

TRIANGOLI GONFIATI . . .
Già, ma allora perché non considerare rette anche i paralleli, che invece non si intersecano? Per due ragioni: innanzitutto perché non sono mai la strada più breve per congiungere due punti (mentre lo sono i cerchi massimi) e poi perché i paralleli, in corrispondenza dei poli, diventano puntiformi. E, in geometria, è necessario poter distinguere i punti dalle rette.

Un altro concetto fondamentale di una geometria è quello di triangolo. Nella geometria di Euclide è facile dimostrare che gli angoli di un triangolo equilatero (che ha, cioè, tutti i lati uguali) misurano esattamente 60°. Sulla superficie di una sfera, invece, i triangoli appaiono gonfiati e gli angoli di un triangolo equilatero misurano certamente più di 60°
Per triangoli piccoli, gli angoli sono di poco superiori a questo valore, mentre per triangoli che hanno i vertici sull’equatore e sul polo, invece, i tre angoli sono addirittura retti. Più in generale, su una sfera la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre superiore a 180°.

. . . E TRIANGOLI SGONFIATI
Nella geometria iperbolica, la somma degli angoli di un triangolo qualsiasi è invece sempre inferiore a 180° e, al posto delle rette, bisogna considerare iperboli.

La geometria iperbolica è più difficile da visualizzare di quella sferica, perché per rappresentarla bisogna utilizzare un iperboloide di rotazione, cioè la superficie che si ottiene facendo ruotare un’iperbole intorno al suo asse.

IPERBOLOIDI E ARTISTI
La geometria iperbolica si può però rappresentare anche con un modello diverso: un disco all’interno del quale la velocità della luce sia in ogni punto uguale alla distanza fra la circonferenza e il punto stesso, come dimostrò il matematico francese Jules Henri Poincaré (1854-1912).

In questo modello, i raggi di luce (le linee "rette") prendono la forma di archi di cerchio e sono sempre perpendicolari al disco. Un’idea che affascinò l’artista olandese Maurits Cornelius Escher e che ispirò alcune sue opere, come l’incisione "Limite del cerchio IV", nota anche come "Paradiso e inferno". In essa è raffigurato un cerchio piastrellato con figure di angeli e diavoli che diventano sempre più piccole quanto più ci si avvicina al bordo (esattamente come accade alla velocità della luce nel modello di Poincaré)
«In realtà» spiega il m tematico Robert Osserman nel libro "Poesia dell’universo" «le figure hanno tutte la stessa grandezza e forma, ma variano nell’incisione di Escher, perché una qualsiasi rappresentazione del piano di Lobacevskij distorce necessarimente le lunghezze». La luce, infatti, rallenta avvicinandosi al bordo.

Ma servono a qualcosa, le geometrie non euclidee?
Per effettuare misure, no. Hanno trovato però applicazione
nei campi più svariati: dalla crittografia alla robotica,
dall’astronomia alla navigazione, fino all’algebra avanzata

La geometria che abbiamo studiato a scuola, allora, non vale più?
Ma si che vale, tanto che la usano ingegneri, fisici, architetti.

Se però allarghiamo la visuale e consideriamo distanze di migliaia di chilometri sulla Terra, allora la sfericità del pianeta comincia a farsi notare, e la geometria ellittica diventa importante. I piloti degli aerei, per esempio, sanno benissimo che la rotta più breve fra due località si trova sempre su un arco di cerchio massimo: è anche per questo che, per volare fra due aeroporti alla stessa latitudine, gli aerei non seguono la linea immaginaria dei paralleli. Passare per il Polo Nord, insomma, è spesso una scorciatoia.

GRAVITA’ NONEUCLIDEA
La sfericità della Terra può però sembrare un caso particolare... in fondo, si potrebbe pensare, il pianeta è immerso in uno spazio dove vale la geometria di Euclide. Invece lo spazio stesso non è sempre euclideo.

Lo capì Einstein, nel 1915, quando concepì la teoria della relatività generale e ipotizzò che la gravità fosse un effetto geometrico dello spazio (la geometria giusta per descrivere questo fatto è quella ellittica).
Si può pensare, cioè, che lo spazio che ci circonda abbia protuberanze e ondulazioni in corrispondenza di galassie, stelle o pianeti.

IMMAGINI SDOPPIATE
«Una buona analogia» spiega Rudy Rucker, matematico alla San José State University (Usa) «è quella di una palla da biliardo su un foglio di gomma: intorno alla biglia il foglio risulta incurvato».

Allo spazio succede qualcosa di simile: le protuberanze influenzano il moto delle particelle e della luce. «Di solito si pensa che la luce si propaghi in linea retta» continua Rucker. «Ma se lo spazio è curvo, in esso non esiste nulla di simile a una linea retta». In questo caso, la luce seguirà una "geodetica", cioè il percorso più breve possibile, ma non necessariamente "dritto".

Proprio quello che osservò Sir Arthur Eddington, durante un’eclissi, nel 1919: le stelle vicino al Sole erano leggermente spostate rispetto a quanto previsto dai calcoli tradizionali, anche perché i loro raggi non si muovevano in linea retta. L’esperimento di Eddington decretò il successo della relatività generale e rese Einstein una celebrità.
Oggi, però, sono noti effetti di distorsione ben più spettacolari, come lo sdoppiamento delle quasar.

Ma quanto è distorto lo spazio vicino al Sole? Grazie alle osservazioni delle sonde spaziali, oggi gli scienziati stimano un effetto di due parti su un milione. Che cosa vuoi dire? Che se definiamo la superficie del Sole come una sfera di raggio pari a 700 mila chilometri (che corrisponde alla fotosfera), la sua circonferenza è circa 10 km più corta di quanto si calcolerebbe con le formule di Euclide.

NODI, TEOREMI E CODICI
Ai teoremi delle geometrie non euclidee i matematici ricorrono per risolvere problemi molto astratti, che però possono avere anche applicazioni concrete. La geometria ellittica, per esempio, è usata anche per cifrare messaggi segreti.
La struttura matematica di molti nodi, invece, è governata dalla geometria iperbolica. Un fatto che potrebbe rivelarsi importante in chimica e biologia, per esempio nello studio di molecole complesse come il DNA.
Un’applicazione più astratta è stata la dimostrazione, nel 1993, dell’ ultimo teorema di Fermat, una congettura apparentemente ovvia ma che per 4 secoli nessuno era riuscito a dimostrare.

BRACCI ROBOTICI PER L’INDUSTRIA
Le geometrie non euclidee hanno anche applicazioni ingegneristiche, per muovere i bracci dei robot industriali, per esempio. Un braccio rigido, infatti, è vincolato a muoversi su una circonferenza, o su una sfera, secondo le leggi della geometria ellittica.

Il problema diventa più complesso se il braccio è fatto da più parti collegate tra loro, che devono anche evitare di scontrarsi o intrecciarsi. In questi casi, il movimento si può rappresentare su una "superficie" astratta che è la generalizzazione di una sfera in uno spazio con più dimensioni.
E, per farlo, è spesso necessario ricorrere a discipline più generali. Come la geometria differenziale, che include come casi particolari la geometria euclidea e quelle non euclidee, perché vale non solo su piani, sfere o iperboloidi, ma su una classe vastissima di superfici

A SPASSO SU MARTE
Per questo motivo, la stessa disciplina è anche adatta a descrivere il movimento di robot su superfici arbitrarie. Un robot come il Sojourner (che nel 1997 esplorò Marte), per esempio, deve muoversi su un suolo ondulato e irregolare nella maniera più opportuna: seguendo la via che corrisponde al minor consumo o al minor rischio. In pratica, questo compito equivale a seguire il percorso più "breve" (la generalizzazione della linea retta) in un opportuno spazio non euclideo, anche se non corrispondente allo spazio reale.

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